Hallo adik-adik... jika kalian mengalami kesulitan menentukan himpunan penyelesaian dari soal yang melibatkan persamaan dua variabel linear kuadrat dan persamaan kuadrat-kuadrat, maka artikel ini akan membantu kalian mengasah diri. Melalui berlatih soal, kakak harap kalian akan mulai memahaminya.. yuk kakak temani kalian belajar...1. Himpunan penyelesaian dari adalah...a. {-1,4, 2, 1}b. {2, 0, 1, -4}c. {3, -2, 4, 0}d. {-3, 7, 2, -3}e. {2, -1, 5, -1}JawabSubtitusikan persamaan y = x2 – 2x + 1 dalam persamaan x + y = 3x + x2 – 2x + 1 = 3x2 – x + 1 – 3 = 0x2 – x – 2 = 0x – 2x + 1 = 0x – 2 = 0 dan x + 1 = 0x = 2 x = -1selanjutnya kita cari nilai x = 2x + y = 32 + y = 3y = 3 – 2y = 1Untuk x = -1x + y = 3-1 + y = 3y = 3 + 1y = 4Maka, himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 4, 2, 1}Jawaban yang tepat Nilai y yang memenuhi sistem persamaan adalah...a. -2b. -1c. 1d. -1 atau 1e. -2 atau 3Jawab2x + 5y = 1 maka,2x = 1 – 5yx = 1-5y/2Subtitusikan x = 1-5y/2 dalam persamaan x2 + 5xy – 4y2 = -10Persamaan di atas kalikan dengan 41 – 10y + 25y2 + 25y – 25y2 – 16y2 = -401 – 10y + 25y2 + 10y – 50y2 – 16y2 = -40-41y2 = -40 – 1y2 = -41/-41y = √1y = ± 1Jadi, nilai y adalah -1 atau yang tepat Nilai y yang memenuhi sistem persamaan adalah...a. -5 atau 3b. -3 atau 5c. -6 atau 2d. 6 atau -2e. -6 atau -2JawabSubtitusikan y = -x2 + 6x – 5 dalam persamaan y = 7 – 2xy = 7 – 2x-x2 + 6x – 5 = 7 – 2x-x2 + 6x + 2x – 5 – 7 = 0-x2 + 8x – 12 = 0x2 – 8x + 12 = 0x – 6x – 2 = 0x – 6 = 0 atau x – 2 = 0x = 6 x = 2Selanjutnya cari nilai x = 6y = 7 – 2xy = 7 – 26y = 7 – 12y = -5Untuk y = 2y = 7 – 2xy = 7 – 22y = 7 – 4y = 3Jadi, nilai y yang memenuhi adalah -5 atau yang tepat Nilai x yang memenuhi sistem persamaan adalah...a. -2b. -1c. 2d. -1 atau 2e. -2 atau 3Jawabx + y = 1, makax = 1 – ySubtitusikan x = 1 – y dalam persamaan x2 + y2 = 51 – y2 + y2 = 51 – 2y + y2 + y2 = 52y2 – 2y + 1 – 5 = 02y2 – 2y – 4 = 0Bagi persamaan di atas dengan 2y2 – y – 2 = 0y – 2y + 1 = 0y – 2 = 0 atau y + 1 = 0y = 2 y = -1Jadi, nilai y adalah -1 atau 2Jawaban yang tepat Penyelesaian yang memenuhi persamaan y = x2 – 9x + 18 dan y = x2 – 6x adalah...a. 1, -6b. -6, 1c. 0, 6d. -6, 0e. 6, 0JawabSubtitusikan y = x2 – 9x + 18 pada persamaan y = x2 – 6xx2 – 9x + 18 = x2 – 6xx2 – x2 – 9x + 6x = -18-3x = -18x = -18/-3x = 6Selanjutnya cari nilai = x2 – 6xy = 62 – 66y = 36 – 36y = 0Maka, himpunan penyelesaian yang tepat adalah {6, 0}Jawaban yang tepat Titik potong antara kurva y = -x2 + x + 6 dan y = -5x + 15 adalah...a. -3, 0 dan 3, 0b. -3, 0c. 3, 0d. -3, 1e. 3, 1JawabSubtitusikan y = -x2 + x + 6 dalam persamaan y = -5x + 15-x2 + x + 6 = -5x + 15-x2 + x + 5x + 6 – 15 = 0-x2 + 6x – 9 = 0x2 - 6x + 9 = 0x – 3 x – 3 = 0x – 3 = 0x = 3Selanjutnya cari nilai = -5x + 15y = -53 + 15y = -15 + 15y = 0Jadi, titik potongnya adalah 3, 0.Jawaban yang tepat Agar persamaan garis y = mx + 8 memotong kurva y = x2 – 8x + 12 di dua titik, maka nilai m yang memenuhi adalah...a. m > 1b. 4 -4JawabSubtitusikan y = mx + 8 ke dalam persamaan y = x2 – 8x + 12mx + 8 = x2 – 8x + 12-x2 + mx + 8x + 8 – 12 = 0-x2 + m + 8x – 4 = 0Persamaan di atas memiliki nilai a = -1, b = m + 8 dan c = -4Karena memotong di dua titik, maka nilai D > 0D = b2 – 4acm + 82 – 4 -1 -4 > 0m2 + 16m + 64 – 16 > 0m2 + 16m + 48 > 0m + 12 m + 4 > 0m + 12 = 0 atau m + 4 = 0m = -12 m = -4Jadi, nilai m adalah m -4Jawaban yang tepat Nilai x yang memenuhi sistem persamaan adalah...a. 2 atau -3b. -2 atau 3c. 2 atau 3d. -2 atau -3e. 1 atau -3JawabSubtisusikan persamaan y = -x2 – 2x + 8 dalam persamaan y = x2 + 2-x2 – 2x + 8 = x2 + 2-x2 – x2 – 2x + 8 – 2 = 0-2x2 – 2x + 6 = 02x2 + 2x – 6 = 0Sederhanakan persamaan di atas dengan cara dibagi + x – 6 = 0x – 2 x + 3 = 0x – 2 = 0 atau x + 3 = 0x = 2 x = -3Jawaban yang tepat Agar kurva y = ax2 – a + 3x – 1 dan garis y – x + ½ = 0 bersinggungan, maka nilai a yang memenuhi adalah...a. ½ atau 2b. -2 atau 8c. -8 atau -2d. 8 atau 2e. -2 atau – ½ Jawaby – x + ½ = 0, makay = x – ½ Subtitusikan y = ax2 – a + 3x – 1 pada persamaan y = x – ½ax2 – a + 3x – 1 = x – ½ ax2 – a + 3x – x – 1 + ½ = 0ax2 – ax - 3x – x – ½ = 0ax2 – ax - 4x – ½ = 0ax2 – a + 4x – ½ = 0Persamaan di atas memiliki a = a , b = -a + 4 = -a - 4 dan c = -1/2 Karena garis dan kurva saling bersinggungan, maka nilai D = 0D = b2 – 4ac-a - 42 – 4a -1/2 = 0a2 + 8a + 16 + 2a = 0a2 + 10a + 16 = 0a + 2a + 8 = 0a + 2 = 0 atau a + 8 = 0a = -2 a = -8Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = -2 atau a = -8Jawaban yang tepat Sebuah garis lurus bergradien -3 diketahui memotong kurva y = 2x2 + x – 6 di titik 2, 4. Koordinat titik potong lainnya adalah...a. -4, 22b. 3, -2c. 7, 1d. 3, 1e. 4, 2JawabSebuah garis lurus bergradien -3 , maka nilai m = -3Untuk garis ax + by + c = 0 rumus m = -a/bm = -a/b = -3, maka nilai a = 3 dan b = 1Jadi, garisnya memiliki persamaan 3x + y + c = 0Karena titik potong yang pertama adalah 2, 4 maka ganti x dan y dengan 2 dan 4. 3x + y + c = 032 + 4 + c = 06 + 4 + c = 010 + c = 0c = -10Jadi, persamaan garisnya adalah 3x + y - 10 = 0 atau y = -3x + 10Selanjutnya kita cari titik potong yang y = 2x2 + x – 6 dalam persamaan y = -3x + 102x2 + x – 6 = -3x + 102x2 + x + 3x – 6 – 10 = 02x2 + 4x – 16 = 0Sederhanakan persamaan di atas dengan dibagi + 2x – 8 = 0x – 2 x + 4 = 0x – 2 = 0 atau x + 4 = 0x = 2 x = -4Kita cari nilai y dari x = -4 saja, karena yang x = 2 sudah diketahui di = -3x + 10y = -3 -4 + 10y = 12 + 10y = 22Maka, titik potongnya adalah -4, 22Jawaban yang tepat Persamaan garis yang menyinggung kurva x2 – y + 2x – 3 = 0 dan tegak lurus dengan garis 2y = x + 3 adalah...a. y + 2x + 7 = 0b. y + 2x + 3 = 0c. y + 2x + 4 = 0d. y + 2x – 7 = 0e. y + 2x – 3 = 0JawabPertama, cari m1 dengan cara menurunkan persamaan – y + 2x – 3 = 0y = x2 + 2x – 3y’ = 2x + 2m1 = 2x + 2Kedua, cari m2 dari persamaan garis 2y = x + 32y = x + 3-x + 2y = 3m = -a/b m = -1/2m = ½ m2 = ½ Karena saling tegak lurus, maka m1 . m2 = -1m1 . m2 = -12x + 2 ½ = -1x + 1 = -1x = -1 – 1x = -2Jika x = -2 maka cari nilai y dengan persamaan x2 – y + 2x – 3 = 0.-22 – y + 2-2 – 3 = 04 – y – 4 = 0y = 0Berarti titik singgungnya adalah -2, 0Selanjutnya cari persamaan garisnya. Karena tegak lurus, maka m1 . m2 = -1m1 . ½ = -1m1 = -2Persamaan garis melalui titik -2, 0 dan gradien -2 adalahy – y1 = m x – x1y – 0 = -2 x – -2y = -2x – 4 y + 2x + 4 = 0Jadi, jawaban yang tepat Persamaan garis yang menyinggung kurva fx = - ½ x2 + 4x dan tegak lurus dengan garis x + 2y + 10 = 0 adalah...a. 2x – y + 1 = 0b. 2x + y + 2 = 0c. 2x – y + 2 = 0d. 2x + y – 2 = 0e. 2x + 2y – 2 = 0JawabPertama, cari m1 dengan cara menurunkan persamaan = - ½ x2 + 4x fx’ = -x + 4m1 = -x + 4Kedua, cari m2 dari persamaan garis x + 2y + 10 = 0x + 2y + 10 = 0 m = -a/b m = - ½ m2 = - ½ Karena saling tegak lurus, maka m1 . m2 = -1m1 . m2 = -1-x + 4 -½ = -1 ½ x - 2 = -1 ½ x = -1 + 2 ½ x = 1x = 2 Jika x = 2 maka cari nilai y dengan persamaan fx = - ½ x2 + 4xfx = - ½ x2 + 4x y = - ½ 22 + 42y = - ½ . 4 + 8y = -2 + 8y = 6Berarti titik singgungnya adalah 2, 6Selanjutnya cari persamaan garisnya. Karena tegak lurus, maka m1 . m2 = -1m1 . -½ = -1m1 = 2Persamaan garis melalui titik 2, 6 dan gradien 2 adalahy – y1 = m x – x1y – 6 = 2 x – 2y – 6 = 2x – 4y – 2x – 6 + 4 = 0y – 2x – 2 = 0 atau 2x – y + 2 = 0Jadi, jawaban yang tepat Nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berturut-turut adalah...a. 0 dan 2b. -2 dan 0c. 3 dan 0d. 0 dan 3e. -3 dan 0JawabSubtitusikan persamaan y = x – 3 dalam persamaan y = x2 – 2x – 3x2 – 2x – 3 = x – 3x2 – 2x – x – 3 + 3 = 0x2 – 3x = 0xx – 3 = 0x = 0 atau x – 3 = 0 x = 3Cari nilai yUntuk x = 0 maka y = x – 3y = 0 – 3y = -3Untuk x = 3 maka y = x – 3 y = 3 – 3y = 0Jadi, jawaban yang tepat adalah Nilai x yang memenuhi sistem persamaan adalah....a. -1 dan 8b. -1 dan -6c. -1 dan 6d. 1 dan -6e. 1 dan 7JawabSubtitusikan y = x2 – 4x + 3 dalam persamaan y = 2x2 + 3x + 92x2 + 3x + 9 = x2 – 4x + 32x2 – x2 + 3x + 4x + 9 – 3 = 0x2 + 7x + 6 = 0x + 6x + 1 = 0x + 6 = 0 dan x + 1 = 0x = -6 x = -1Jadi nilai x yang memenuhi adalah -1 dan -6Jawaban yang tepat Nilai x yang memenuhi sistem persamaan adalah...a. 0 atau 6b. 0 atau -6c. 6d. 0e. -6JawabSubtitusikan y = 8x – x2 dalam y = 2x8x – x2 = 2x-x2 + 8x – 2x = 0-x2 + 6x = 0xx + 6 = 0x = 0 atau x + 6 = 0 x = -6Jadi, nilai x adalah 0 atau -6Jawaban yang tepat Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan adalah...a. {-2, 1, 1, -2}b. {-1, 2, 2, -1}c. {-1, -2, 1, 2}d. {-1, -1, 2, 2}e. {1, 1, -2, -2}JawabCari bentuk lain dari persamaan x + y = 1x + y = 1x = 1 – ySubtitusikan x = 1 – y dalam persamaan x2 + y2 = 5x2 + y2 = 51 – y2 + y2 = 51 – 2y + y2 + y2 = 52y2 – 2y + 1 - 5 = 02y2 – 2y – 4 = 0 sederhanakan dengan cara dibagi 2y2 – y – 2 = 0y – 2y + 1 = 0y – 2 = 0 atau y + 1 = 0y = 2 y = -1Cari nilai xUntuk y = 2, maka x = 1 – yx = 1 – 2x = -1Untuk y = -1, maka x = 1 – yx = 1 – -1x = 2Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2, -1; -1, 2}Jawaban yang tepat Nilai y yang memenuhi sistem persamaan adalah...a. -6 atau 2b. 6 atau -2c. 6 atau 2d. -3 atau 5e. -5 atau 3JawabSubtitusikan persamaan y = -x2 + 6x – 5 dalam persamaan y = 7 – 2x-x2 + 6x – 5 = 7 – 2x-x2 + 6x + 2x – 5 – 7 = 0-x2 + 8x – 12 = 0x2 – 8x + 12 = 0x – 2x – 6 = 0x – 2 = 0 atau x – 6 = 0x = 2 x = 6Selanjutnya kita cari nilai yUntuk x = 2, y = 7 – 2xy = 7 – 22y = 7 – 4y = 3Untuk x = 6, y = 7 – 2xy = 7 – 26y = 7 – 12y = -5Jadi, nilai y yang memenuhi adalah -5 atau yang tepat Nilai y yang memenuhi sistem persamaan adalah...a. 24 atau 36b. 42 atau 63c. 24 atau 63d. 24 atau 42e. 36 atau 63JawabSubtitusikan y = x2 + 6x + 8 dalam persamaan y = -x2 + 20x – 12x2 + 6x + 8 = -x2 + 20x – 12x2 + x2 + 6x – 20x + 8 + 12 = 02x2 – 14x + 20 = 0 sederhanakan dengan bagi 2x2 – 7x + 10 = 0x – 5 x – 2 = 0x – 5 = 0 atau x – 2 = 0x = 5 x = 2Selanjutnya cari nilai yUntuk x = 5, y = x2 + 6x + 8y = 52 + 65 + 8y = 25 + 30 + 8y = 63Untuk x = 2, y = x2 + 6x + 8y = 222 + 62 + 8y = 4 + 12 + 8y = 24Jadi, nilai y yang memenuhi adalah 24 atau yang tepat Himpunan penyelesaian dari adalah...a. {3, 0}b. {0, -3}c. {-3, 0}d. {6, -3}e. {-6, 3}JawabSubtitusikan y = -x2 + x + 6 dalam persamaan y = 15 – 5x-x2 + x + 6 = 15 – 5x-x2 + x + 5x + 6 – 15 = 0-x2 + 6x – 9 = 0x2 – 6x + 9 = 0x – 3x – 3 = 0x – 3 = 0x = 3Selanjutnya cari nilai yUntuk x = 3, y = 15 – 5xy = 15 – 53y = 15 – 15y = 0Maka, himpunan penyelesaiannya adalah {3, 0}Jawaban yang tepat Agar kurva y = mx2 + x – 2 bersinggungan dengan garis y = 1 – 2x maka nilai m yang memenuhi adalah...a. -3b. -1c. – ¾ d. ½ e. 4JawabSubtitusikan y = mx2 + x – 2 dengan y = 1 – 2xmx2 + x – 2 = 1 – 2xmx2 + x + 2x – 2 – 1 = 0mx2 + 3x – 3 = 0Karena bersinggungan, maka nilai D = 0mx2 + 3x – 3 = 0, memiliki a = m, b = 3, dan c = -3d = 0b2 – 4ac = 032 – 4 . m . -3 = 09 + 12m = 012 m = -9m = -9/12m = - ¾ Jadi, jawaban yang tepat sampai disini dulu ya... semoga materi ini bermanfaat untuk kalian... sampai bertemu di materi selanjutnya...

"MATERI LENGKAP Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat". Pada postingan ini, akan dijelaskan cara menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan sistem persamaan linear. 1. Sistem Persamaan Linear a. Persamaan Linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Benjtuk umum persamaan linear satu variabel adalah ax + b = c, dengan a ≠0 b. Persamaan linear dua veriabel adalah persamaan linear yang mengandung variabel dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel ax + by = c, dengan a ≠0 dan b≠0 2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel SPLDV Sistem persamaan linear dua veriabel adalah sistem persamaan yang menandung paling sedikit sepasang dua buah persamaan linear dua vartiabel yang hanya mempunya satu persamaan linear dua variabel dengan variabel x dan y secara umum ditulis sebagai berikut dengan Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat digunakan metode-metode di bawah ini a. Metode grafrik b. Metode subtitusi c. Metode eliminasi d. Metode eliminasi-subtitusi a. Metode Grafik Metode grafik adalah metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan dengan cara menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut yang kemudian menentukan titik potongnya. Langkah-langkah menggambar grafik Menggambar grafik masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesisus dengan menggunakan metode titik potong sumbu Bila kedua garis berpotongan pada sebuah titik maka himpunan penyelesaiannya tepat memiliki sebuah anggota, yaitu {x,y}. Bila kedua garis itu sejajar tidak berpotongan maka himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota, yaitu {} himpunan kosong Bila kedua garis itu berimpit, maka himpanan penyelesaiannya memiliki anggota yang tak banyak hingganya. Contoh soal EBTANAS 2000 Jika x dan y memenuhi sistem persamaan Nilai x + y sama dengan ..... A. 6 B. 4 C. -2 D. -6 E. -8 Pembahasan Grafik persamaan garis 2x + y = 5 * Titik potong dengan sumbu x, maka y = o 2x + 0 = 5 2x = 5 x = 5/2 Titik potongnya 5/2 , 0 * Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0 20 + y = 5 y = 5 Titik potong 0,5 Grafik persamaan garis 3x - 2y = -3 * Titik potong dengan sumbu x, maka y = 0 3x - 20 = -3 x = -1 Titik potong -1,0 * Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0 30 - 2y = -3 y = 3/2 Titik potong 0, 3/2 Garis 2x + y = 5 dan garis 3x - 2y = -3 berpotongan di titik 1,3 yang berarti x = 1 dan y = 3. Jadi, x + y = 1 + 3 = 4 -> Jawaban B. 4 b. Metode Subtitusi Metode subtitusi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan lain. Langkah-langkah menggunakan metode subtitusi Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebegai fungsi x Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lainnya Contoh Soal Himpunan penyelesaian sistem persamaan adalah . . . . . A. {2,2} B. {2,4} C. {4,2} D. {1,2} E. {2,1} Pembahasan Dari persamaan 4x + y = 12 y = 12 - 4x .......1 Subtitusi persamaan 1 ke persamaan 2x + y = 8, diperoleh 2x + 12 - 4x = 8 2x + 12 - 4x = 8 -2x = 8 - 12 -2x = -4 x = 2 Subtitusi nilai x = 2 ke persamaan 1 diperoleh y = 12 - 42 y = 12 - 8 y = 4 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,4} -> Jawaban B c. Metode Eliminasi Metode eliminasi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Langkah-langkah menggunakan metode eliminasi 1. Perhatikan koefisien x atau y a. Jika koefisiennya sama i Lakukan operasi pengurangan untuk tanda yang sama ii Lakukan operasi penjumlahan untuk tanda yang berbeda b. Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan cara mengalikan persamaan-persamaan dengan konstanta yang sesuai, lalu lakukan operasi penjumlahan atau pengurangan seperti pada langkah sebelumnya. 2. Lakukan kembali langkah 1 untuk mengeliminasi variabel lainnya. Contoh soal Himpunan penyelesaian sistem persamaan adalah { Nilai p - q = ..... A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 E. -2 Pembahasan Mengeliminasi variabel x 7x + 5y = 2 x5 35x + 25y = 10 5x + 7y = -2 x7 35x + 49y = -14 - -24y = 24 y = -1 Mengeliminasi variabel y 7x + 5y = 2 x7 49x + 35y = 14 5x + 7y = -2 x5 25x + 35y = -10 - 24x = 24 x = 1 Himpunan penyelesaiannya {p,q} = {-1,1} Nilai p - q = 1-1 = 2 -> Jawaban D d. Metode Eliminasi-Subtritusi Metode eliminasi-subtitusi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggabungkan metode eliminasi dan metode subtitusi. Metode elminasi digunakan untuk mendapatkan variabel pertama dan hasilnya disubtitusikan ke persamaan untuk mendapatkan variabel kedua. Contoh Soal Di sebuah toko, Rabil membeli 4 barang A dan 2 barang B dengan hargar Rp 4000,- Mazlan membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga Rp Alif ingin membeli sebuah barang A dan sebuah barang B dengan harga.... Pembahasan Misal Barang A = A dan Barang B = B Diketahui Rabil => 4A + 2B = 4000 8A + 4B = 8000 Mazlan => 10A + 4B = 9500 Alif => A + B = .....? Dengan menggunakan eliminasi 8A + 4B = 800010A + 4B = 9500 - -2A = -1500 A = 750 Subtitusi nilai A = 750 ke salah satu persamaan, diperoleh 4750 + 2B = 4000 3000 + 2B = 4000 2B = 1000 B = 500 Maka A + B = 750 + 500 = Jadi, harga sebuah barang A dan sebuah barang B adalah Rp 1. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel SPLKDV Bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dengan variabel x dan y adalah dengan a, b, p, q, r adalah bilangan real. Langkah-langkah Menyelesaikan SPLKDV a. Subtitusikan y = ax+b ke y = px2 + qx + r sehingga berbentuk persamaan kuadrat b. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk yakni x1 dan x2 c. Subtitusikan x1 dan x2 ke persamaan bentuk linear untuk mendapatkan y1 dan y2 d. Himpunan penyelesaiannya adalah {x1,y1,x2,y2} Himpunan penyelesaian antara persamaan bentuk linear dan bentuk kuadrat memiliki tiga kemungkinan, yakni Jika D>0, maka garis dan parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya Jika D = 0, maka garis dan parabola berpotongan di satu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya Jika D -x2 + 5x - 6 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 x - 3x - 2 = 0 x1 = 3 atau x2 = 2 Untuk x1 = 3 maka y1 = 3 - 3 = 0 Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 - 3 = -1 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,-1,3,0} -> Jawaban A 2. Sistem Persamaan Kuadrat SPK Sistem persamaan kuadrat dengan variabel x dan y secara umum dinyatakan sebagai berikut dengan a, b, c, p, q, dan r adalah bilangan real Langkah-langkah menyelesaikan SPK Substitusikan persamaan yang satu ke persamaan yang lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk sehingga diperoleh himpunan penyelesaian {x1,y1,x2,y2} Himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat memiliki 6 kemungkinan, yaitu Jika D > 0, maka kedua parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya. Jika D = 0, maka kedua parabola berpotongan di satu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya Jika D 2x2 -8 = 0 x2 - 4 = 0 x - 2x + 2 = 0 x = 2 atau x = -2 Untuk x = 2 y = x2 - 2x - 3 y = 22 -2 2 - 3 y = 4 - 4 - 3 y = -3 Untuk x = -2 y = x2 - 2x - 3 y = -22 -2 -2 - 3 y = 4 + 4 - 3 y = 5 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2,5,2,-3} -> Jawaban C

Nilaip, yang memenuhi persamaan 4𝑝 + 3𝑞 = 20 𝑑𝑎𝑛 2𝑝 − 𝑞 = 3 adalah a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 Penyelesaian : 4𝑝 + 3𝑞 = 20. (1) 2𝑝 − 𝑞 = 3 . (2) Pilih salah satu persamaan misalnya persamaan (2), kemudian nyatakan salah satu variabelnya dalam bentuk variable yanglain. 2𝑝 − 𝑞 = 3 −𝑞 = 3 − 2𝑝 𝑞 = 2𝑝 + 3

Sebelumnya, mari kita sepakati penggunaan istilah dalam materi ini dulu. Sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua disebut sistem persamaan linear-kuadrat SPLK. Berdasarkan karakteristik dari bagian kuadratnya, SPLK dikelompokkan sebagai berikut. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit. SPLK Dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Eksplisit Bentuk umum SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk eksplisit dapat dituliskan sebagai berikut. $$\begin{cases} y & = ax + b && \text{bagian linear} \\ y & = px^2 + qx + r && \text{bagian kuadrat} \end{cases}$$dengan $a, b, p, q, r$ bilangan real dan $a, p \neq 0.$ Sistem ini dapat diselesaikan dengan cara mensubstitusikan persamaan linear ke persamaan kuadrat, kemudian disederhanakan dan diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, atau rumus ABC. Secara umum, penyelesaian dari SPLK tersebut dapat ditentukan dengan melalui langkah-langkah berikut. Langkah 1 Substitusikan bagian linear $y = ax+b$ ke bagian kuadrat $y = px^2+qx+r$, diperoleh $$\begin{aligned} ax + b & = px^2+qx+r \\ px^2+qx-ax+r-b & = 0 \\ px^2+q-ax+r-b & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir merupakan persamaan kuadrat satu variabel, yaitu $x$. Selesaikan persamaan kuadrat tersebut untuk mencari nilai $x$. Langkah 2 Nilai-nilai $x$ yang didapat pada Langkah 1 tadi jika ada disubstitusikan ke persamaan $y = ax+b$ agar perhitungannya lebih mudah, untuk memperoleh nilai $y$. Kita ingat bahwa nilai $x$ yang memenuhi persamaan kuadrat $px^2 + q-ax + r-b = 0$ disebut akar-akar dari persamaan kuadrat itu. Banyak nilai $x$ banyak akar dari persamaan kuadrat tersebut ditentukan oleh nilai diskriminan $D = q-a^2-4pr-b$. Dengan demikian, banyak anggota dalam himpunan penyelesaian SPLK $$\begin{cases} y = ax+b \\ y = px^2+qx + r \end{cases}$$ditentukan oleh nilai diskriminan $D$ dengan aturan berikut. Jika $D > 0$, maka SPLK tersebut mempunyai dua anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Jika $D = 0$, maka SPLK tersebut mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Jika $D 0$, maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan. Jika $D = 0$, maka garis memotong parabola tepat di satu titik. Dengan kata lain, garis itu menyinggung parabola. Jika $D < 0$, maka garis dan parabola tidak berpotongan. Perhatikan gambar kedudukan garis $y = ax+b$ dan parabola $y = px^2+qx+r$ berikut agar lebih jelas. SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit Persamaan dua variabel $x$ dan $y$ dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $y = fx$ atau $x = fy.$ Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk $fx, y = 0.$ Contoh persamaan dua variabel dalam bentuk implisit adalah sebagai berikut. a. $x^2+y^2+8 = 0$ b. $x^2+2y^2-3x+y = 0$ c. $x^2-y^2-3x+4y+9 = 0$ d. $2x^2+xy+y^2+3y-4 = 0$ Secara umum, SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk implisit dapat dituliskan sebagai berikut. $$\begin{cases} px+qy + r = 0 & \text{bagian linear} \\ ax^2+by^2 + cxy + dx + ey + f = 0 & \text{bagian kuadrat berbentuk implisit} \end{cases}$$dengan $a, b, c, d, e, f, p, q, r$ semuanya merupakan bilangan real dan $p, q, a, b \neq 0.$ SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit dibagi menjadi dua, yaitu bentuk implisit yang tak dapat difaktorkan dan bentuk implisit yang dapat difaktorkan. Baca Juga Soal dan Pembahasan – SPLDV Berikut ini disajikan beberapa soal mengenai sistem persamaan linear dan kuadrat, disertai dengan pembahasannya. Semoga bermanfaat. Today Quote Students don’t need a perfect teacher. They need a happy teacher, who’s gonna make them excited to come to school and grow a love for learning. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Penyelesaian dari sistem persamaan $$\begin{cases} y & = 3x-5 && \cdots 1 \\ y & = x^2-5x+7 && \cdots 2 \end{cases}$$adalah $\cdots \cdot$ A. $-2, 1$ dan $6, 13$ B. $-2, -1$ dan $6, -13$ C. $2, -1$ dan $-6, 13$ D. $2, 1$ dan $6, 13$ E. $2, 1$ dan $-6, -13$ Pembahasan Pertama, cari titik potong dari grafik kedua persamaan tersebut. $$\begin{aligned} y & = y \\ x^2-5x+7 & = 3x-5 \\ x^2-8x+12 & = 0 \\ x-6x-2 & = 0 \\ x = 6~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Substitusi nilai $x$ ke persamaan $1$, yaitu $y = 3\color{red}{x}-5$. $$\begin{aligned} x = \color{blue}{6} & \Rightarrow y = 36-5 = \color{blue}{13} \\ x = \color{green}{2} & \Rightarrow y = 32-5 = \color{green}{1} \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah $6, 13$ dan $2, 1$. Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Sistem Koordinat Kartesius Soal Nomor 2 Himpunan penyelesaian dari SPLK $\begin{cases} x+y = 0 \\ x^2+y^2+8 = 0 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\{2, -2, -2, 2\}$ B. $\{-2, -2, 2, 2\}$ C. $\{4, -4, -4, 4\}$ D. $\{2, -4, -4, 4\}$ E. $\{2, 2, 4, 4\}$ Pembahasan Diketahui SPLK $$\begin{cases} x+y = 0 & \cdots 1 \\ x^2+y^2-8 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ dapat ditulis menjadi $y = -x$. Substitusikan pada persamaan $2$. $$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-8 & = 0 \\ x^2+-x^2-8 & = 0 \\ x^2+x^2 & = 8 \\ 2x^2 & = 8 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{aligned}$$Jika $x = 2$, maka diperoleh $y = -2$. Jika $x = -2$, maka diperoleh $y = 2$. Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{2, -2, -2, 2\}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 3 Misalkan penyelesaian SPLK $\begin{cases} x-y+1 = 0 \\ x^2+y^2-13 = 0 \end{cases}$ adalah $a, b$ dan $c, d$. Nilai $a+b+c+d = \cdots \cdot$ A. $-3$ C. $0$ E. $12$ B. $-2$ D. $3$ Pembahasan Diketahui SPLK $$\begin{cases} x-y+1 = 0 & \cdots 1 \\ x^2+y^2-13 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ dapat ditulis menjadi $y = x+1$. Substitusikan pada persamaan $2$. $$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-13 & = 0 \\ x^2+x+1^2-13 & = 0 \\ x^2+x^2+2x+1-13 & = 0 \\ 2x^2+2x-12 & = 0 \\ x^2+x-6 & = 0 \\ x+3x-2 & = 0 \\ x = -3~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Jika $x = -3$, maka diperoleh $y = -2$. Jika $x = 2$, maka diperoleh $y = 3$. Jadi, penyelesaian SPLK tersebut adalah $-3, -2$ dan $2, 3$ sehingga nilai $$\boxed{a+b+c+d = -3+-2+2+3 = 0}$$Catatan Karena yang ditanyakan adalah jumlah dari $a, b, c, d$, maka masing-masing nilainya tidak perlu dipermasalahkan bila ditukar-tukar, sebab hasil penjumlahannya pasti sama. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 4 Titik koordinat yang termasuk penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases} y & = 2x+5 \\ y & = x^2-3 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-4, 13$ D. $2, -1$ B. $-2, 1$ E. $4, 11$ C. $0, -4$ Pembahasan Pertama, cari titik potong dari grafik kedua persamaan tersebut. $$\begin{aligned} y & = y \\ x^2-3 & = 2x+5 \\ x^2-2x-8 & = 0 \\ x-4x+2 & = 0 \\ x = 4~\text{atau}~x & = -2 \end{aligned}$$Substitusi masing-masing dua nilai $x$ tersebut ke persamaan $y = 2x+5$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x = 4 & \Rightarrow y = 24 + 5 = 13 \\ x = -2 & \Rightarrow y = 2-2 + 5 = 1 \end{aligned}$$Jadi, titik potongnya adalah $4, 13$ dan $-2, 1$. Titik potong adalah titik koordinat yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 5 Penyelesaian dari sistem persamaan $$\begin{cases} x-y = 2 & \cdots 1 \\ x^2+16y^2-24xy-16 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$adalah $\cdots \cdot$ A. $6, 4$ dan $\left\dfrac{12}{7}, -\dfrac{2}{7}\right$ B. $6, 4$ dan $\left\dfrac{2}{7}, -\dfrac{12}{7}\right$ C. $-4, -6$ dan $\left\dfrac{2}{7}, -\dfrac{12}{7}\right$ D. $-4, -6$ dan $\left\dfrac{12}{7}, -\dfrac{2}{7}\right$ E. $-4, -6$ dan $6, 4$ Pembahasan Ubah persamaan $1$ menjadi $$x = 2 + y~~~~\cdots 3$$Substitusi persamaan $3$ pada persamaan $2$. Kita peroleh $$\begin{aligned} \color{blue}{x}^2+16y^2-24\color{blue}{x}y-16 = 0 \\ 2+y^2+16y^2-242+yy-16 & = 0 \\ y^2+4y+4+16y^2-48y-24y^2-16 & = 0 \\ -7y^2-44y-12 & = 0 \\ 7y^2+44y+12 & = 0 \\ 7y+2y+6 & = 0 \\ y = -\dfrac27~\text{atau}~y & = -6 \end{aligned}$$Substitusi nilai $y$ ke persamaan $1$, yaitu $x = 2+\color{red}{y}$. $$\begin{aligned} y = \color{blue}{-\dfrac27} & \Rightarrow x = 2+\color{blue}{-\dfrac27} = \dfrac{12}{7} \\ y = \color{green}{-6} & \Rightarrow x = 2+\color{red}-6 = -4 \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah $-4, -6$ dan $\left\dfrac{12}{7}, -\dfrac27\right$. Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – SPLTV Soal Nomor 6 Himpunan penyelesaian SPLK $$\begin{cases} 2x+3y = 8 \\ 4x^2-12xy+9y^2 = 16 \end{cases}$$adalah $\cdots \cdot$ A. $\left\{1, 2, \left3, \dfrac23\right\right\}$ B. $\left\{2, 1, \left3, \dfrac23\right\right\}$ C. $\left\{1, 2, \left\dfrac23, 3\right\right\}$ D. $\left\{2, 1, \left\dfrac23, 3\right\right\}$ E. $\emptyset$ Pembahasan Diketahui SPLK $$\begin{cases} 2x+3y = 8 & \cdots 1 \\ 4x^2-12xy+9y^2 = 16 & \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $2$ merupakan bagian kuadrat yang dapat difaktorkan sebagai berikut. $$\begin{aligned} 4x^2-12xy+9y^2 & = 16 \\ 2x-3y^2 & = 16 \\ 2x-3y^2-4^2 & = 0 \\ 2x-3y+42x-3y-4 & = 0 \\ 2x-3y+4 = 0~\text{atau}~2x-3y&-4 = 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, SPLK tersebut dapat dipecah menjadi dua SPLDV berikut. SPLDV pertama $$\begin{cases} 2x+3y & = 8 \\ 2x-3y + 4 & = 0 \end{cases}$$dengan penyelesaian $1, 2$. SPLDV kedua $$\begin{cases} 2x+3y & = 8 \\ 2x-3y-4 & = 0 \end{cases}$$dengan penyelesaian $\left3, \dfrac23\right$. Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah $\boxed{\left\{1, 2, \left3, \dfrac23\right\right\}}$ Jawaban A [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLK berikut. a. $\begin{cases} y & = 6-5x \\ y & = x^2 \end{cases}$ b. $\begin{cases} y & = x+3 \\ y & = x^2-5x+8 \end{cases}$ c. $\begin{cases} y & = 3x-8 \\ y & = x^2-3x \end{cases}$ d. $\begin{cases} y & = x+1 \\ y & = x^2+x \end{cases}$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $$\begin{cases} y & = 6-5x && \cdots 1 \\ y & = x^2 && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^2 & = 6-5x \\ x^2+5x-6 & = 0 \\ x+6x-1 & = 0 \\ x = -6~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = x^2$. $$\begin{aligned} x = -6 & \Rightarrow y = -6^2 = 36 \\ x = 1 & \Rightarrow y = 1^2 = 1 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{-6, 36, 1, 1\}}$ Jawaban b Diketahui $$\begin{cases} y & = x+3 && \cdots 1 \\ y & = x^2-5x+8 && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^2-5x+8 & = x+3 \\ x^2-6x+5 & = 0 \\ x-5x-1 & = 0 \\ x = 5~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = x+3$. $$\begin{aligned} x = 5 & \Rightarrow y = 5+3 = 8 \\ x = 1 & \Rightarrow y = 1+3 = 4 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{5, 8, 1, 4\}}$ Jawaban c Diketahui $$\begin{cases} y & = 3x-8 && \cdots 1 \\ y & = x^2-3x && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^2-3x & = 3x-8 \\ x^2-6x+8 & = 0 \\ x-2x-4 & = 0 \\ x = 2~\text{atau}~x & = 4 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = 3x-8$. $$\begin{aligned} x = 2 & \Rightarrow y = 32-8 = -2 \\ x = 4 & \Rightarrow y = 34-8 = 4 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{2, -2, 4, 4\}}$ Jawaban d Diketahui $$\begin{cases} y & = x+1 && \cdots 1 \\ y & = x^2+x && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^2+x & = x+1 \\ x^2-1 & = 0 \\ x+1x-1 & = 0 \\ x = -1~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = x+1$. $$\begin{aligned} x = -1 & \Rightarrow y = -1+1 = 0 \\ x = 1 & \Rightarrow y = 1+1 = 2 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{-1, 0, 1, 2\}}$ [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Soal Cerita Aplikasi SPLTV Soal Nomor 2 Diketahui SPLK 2 $$\begin{cases} 2x+y+1 & = 0 \\ y & = x^2-4x \end{cases}$$ Tunjukkan bahwa sistem persamaan linear dan kuadrat itu tepat memiliki satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Carilah himpunan penyelesaiannya itu. Pembahasan Jawaban a Diketahui $$\begin{cases} 2x+y+1 & = 0 && \cdots 1 \\ y & = x^2-4x && \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ dapat diubah menjadi $y = -2x-1$. Substitusikan persamaan ini ke persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} -2x-1 & = x^2-4x \\ 0 & = x^2-2x+1 \end{aligned}$$Sistem tersebut memiliki tepat satu penyelesaian jika persamaan kuadrat di atas memiliki diskriminan yang nilainya $0$. $$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = -2^2-411 \\ & = 4-4 = 0 \end{aligned}$$Terbukti Jawaban b Sebelumnya, kita peroleh persamaan kuadrat $x^2-2x+1 = 0$, yang dapat difaktorkan menjadi $x-1^2 = 0$ sehingga penyelesaiannya adalah $x=1$. Substitusi $x=1$ pada persamaan linearnya sehingga didapat $$y = -2\color{red}{x}-1 = -21-1 = -3 $$Jadi, penyelesaian SPLK tersebut adalah $\boxed{\{1, -3\}}$ [collapse] Soal Nomor 3 Carilah nilai $a$ agar tiap SPLK berikut ini tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya. a. $\begin{cases} y & = x+a \\ y & = x^2-3x \end{cases}$ b. $\begin{cases} y & = ax+1 \\ y & = \dfrac12x^2+x+1 \end{cases}$ c. $\begin{cases} y & = x+a \\ y & = \dfrac12x^2-2 \end{cases}$ d. $\begin{cases} y & = ax+2 \\ y & = ax^2+x+1 \end{cases}$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $$\begin{cases} y & = x+a && \cdots 1 \\ y & = x^2-3x && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^2-3x & = x+a \\ \underbrace{1}_{\color{red}{a}}x^2\underbrace{-4}_{b}x+\underbrace{-a}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$. $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ -4^2-41-a & = 0 \\ 16+4a & = 0 \\ 4a & = -16 \\ a & = -4 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-4}$ Jawaban b Diketahui $$\begin{cases} y & = ax+1 && \cdots 1 \\ y & = \dfrac12x^2+x+1 && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} \dfrac12x^2+x+1 & = ax+1 \\ \underbrace{\dfrac12}_{\color{red}{a}}x^2+\underbrace{1-a}_{b}x+\underbrace{0}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$. $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ 1-a^2-4\left\dfrac12\right0 & = 0 \\ 1-a^2 & = 0 \\ 1-a & = 0 \\ a & = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=1}$ Jawaban c Diketahui $$\begin{cases} y & = x+a && \cdots 1 \\ y & = \dfrac12x^2-2 && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} \dfrac12x^2-2 & = x+a \\ \underbrace{\dfrac12}_{\color{red}{a}}x^2\underbrace{-1}_{b}x+\underbrace{-2-a}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$. $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ -1^2-4\left\dfrac12\right-2-a & = 0 \\ 1+4+2a & = 0 \\ 2a & = -5 \\ a & = -\dfrac52 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-\dfrac52}$ Jawaban d Diketahui $$\begin{cases} y & = ax+2 && \cdots 1 \\ y & = ax^2+x+1 && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} ax^2+x+1 & = ax+2 \\ \underbrace{a}_{\color{red}{a}}x^2+\underbrace{1-a}_{b}x+\underbrace{-1}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$. $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ 1-a^2-4a-1 & = 0 \\ 1-2a+a^2+4a & = 0 \\ a^2+2a+1 & = 0 \\ a+1^2 & = 0 \\ a & = -1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-1}$ [collapse] Soal Nomor 4 Carilah batas-batas nilai $a$ agar setiap SPLK berikut ini sekurang-kurangnya memiliki satu anggota himpunan penyelesaian. a. $\begin{cases} y & = 2x+a \\ y & = x^2-4x+5 \end{cases}$ b. $\begin{cases} 3x+y & = -1 \\ y^2-2ax & = 0 \end{cases}$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $$\begin{cases} y & = 2x+a && \cdots 1 \\ y & = x^2-4x+5 && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{cases} x^2-4x+5 & = 2x+a \\ \underbrace{1}_{\color{red}{a}}x^2\underbrace{-6}_{b}x+\underbrace{5-a}_{c} & = 0 \end{cases}$$SPLK tersebut akan memiliki setidaknya satu penyelesaian jika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D \geq 0$. Dengan demikian, kita tuliskan $$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & \geq 0 \\ -6^2-415-a & \geq 0 \\ 36-20+4a & \geq 0 \\ 16+4a & \geq 0 \\ 4a & \geq -16 \\ a & \geq -4 \end{aligned}$$Jadi, batas nilai $a$ agar SPLK ini memiliki sekurang-kurangnya satu anggota himpunan penyelesaian adalah $\boxed{a \geq -4}$ Jawaban b Diketahui $$\begin{cases} 3x+y & = -1 && \cdots 1 \\ y^2-2ax & = 0 && \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ dapat ditulis menjadi $y = -1-3x$. Substitusikan persamaan ini pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{cases} -1-3x^2-2ax & = 0 \\ 1+6x+9x^2-2ax & = 0 \\ \underbrace{9}_{\color{red}{a}}x^2+\underbrace{6-2a}_{b}x+\underbrace{1}_{c} & = 0 \end{cases}$$SPLK tersebut akan memiliki setidaknya satu penyelesaian jika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D \geq 0$. Dengan demikian, kita tuliskan $$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & \geq 0 \\ 6-2a^2-491 & \geq 0 \\ 43-a^2-49 & \geq 0 \\ 3-a^2-9 & \geq 0 && \text{bagi}~4 \\ 3-a^2 & \geq 9 \\ 3-a \leq -3~\text{atau}~& 3-a \geq 3 \\ -a \leq -6~\text{atau}~& -a \geq 0 \\ a \geq 6~\text{atau}~& a \leq 0 \end{aligned}$$Jadi, batas nilai $a$ agar SPLK ini memiliki sekurang-kurangnya satu anggota himpunan penyelesaian adalah $\boxed{a \leq 0~\text{atau}~a \geq 6}$ [collapse] Soal Nomor 5 Carilah nilai $m$ agar tiap SPLK berikut tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya. a. $\begin{cases} y = x+m \\ x^2+4y^2-4 = 0 \end{cases}$ b. $\begin{cases} y = mx \\ x^2+y^2-8x-4y+16 = 0 \end{cases}$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $$\begin{cases} y = x+m & \cdots 1 \\ x^2 + 4y^2-4 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^2+4x+m^2-4 & = 0 \\ x^2+4x^2+2mx+m^2-4 & = 0 \\ 5x^2+8mx+4m^2-4 & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan sama dengan $0$. Kita peroleh $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ 8m^2-454m^2-4 & = 0 \\ 64m^2-80m^2+80 & = 0 \\ -16m^2 + 80 & = 0 \\ -m^2 + 5 & = 0 && \text{bagi}~16 \\ m^2 & = 5 \\ m & = \pm \sqrt5 \end{aligned}$$Jadi, nilai $m$ yang memuat SPLK tersebut memiliki tepat satu penyelesaian adalah $m = \sqrt5$ atau $m = -\sqrt5$. Jawaban b Diketahui $$\begin{cases} y = mx & \cdots 1 \\ x^2 +y^2-8x-4y+16 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^2+mx^2-8x-4mx+16 & = 0 \\ 1+m^2x^2+-8-4mx+16 & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan sama dengan $0$. Kita peroleh $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ -8-4m^2-41+m^216 & = 0 \\ 162+m^2-41+m^216 & = 0 \\ 2+m^2-41+m^2 & = 0 && \text{bagi}~16 \\ 4+4m+m^2-4-4m^2 & = 0 \\ -3m^2+4m & = 0 \\ m-3m + 4 & = 0 \\ m = 0~\text{atau}~m & = \dfrac43 \end{aligned}$$Jadi, nilai $m$ yang memuat SPLK tersebut memiliki tepat satu penyelesaian adalah $m = 0$ atau $m = \dfrac43$. [collapse] Soal Nomor 6 Misalkan $p, q$ adalah bilangan real yang bukan nol. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini dengan menyatakannya dalam $p$ dan $q$. a. $\begin{cases} px + qy = 0 \\ p^2x^2 + pqx + q^2y^2 = 0 \end{cases}$ b. $\begin{cases} x+y = p+q \\ x^2+y^2+xy-p^2-q^2-pq = 0 \end{cases}$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $$\begin{cases} px + qy = 0 & \cdots 1 \\ p^2x^2 + pqx + q^2y^2 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ dapat ditulis kembali menjadi $y = -\dfrac{px}{q}$. Substitusikan pada persamaan $2$. $$\begin{aligned} p^2x^2 + pqx + q^2\color{red}{y}^2 & = 0 \\ p^2x^2 + pqx + q^2\left-\dfrac{px}{q}\right^2 & = 0 \\ p^2x^2 + pqx + \cancel{q^2} \cdot \dfrac{p^2x^2}{\cancel{q^2}} & = 0 \\ 2p^2x^2 + pqx & = 0 \\ px2px + q & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa kita telah memperoleh $$\begin{aligned} px = 0 & \Rightarrow x = 0 \\ 2px + q = 0 & \Rightarrow x = -\dfrac{q}{2p} \end{aligned}$$Masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada persamaan $y = -\dfrac{px}{q}$. Kita akan memperoleh $$\begin{aligned} x = 0 & \Rightarrow y = -\dfrac{p0}{q} = 0 \\ x = -\dfrac{q}{2p} & \Rightarrow y = -\dfrac{p}{q} \cdot \left-\dfrac{q}{2p}\right = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah $$\boxed{\left\{0, 0, \left-\dfrac{q}{2p}, \dfrac12\right\right\}}$$Jawaban b Diketahui $$\begin{cases} x+y = p+q & \cdots 1 \\ x^2+y^2+xy-p^2-q^2-pq = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Kedua ruas pada persamaan $1$ dikuadratkan, dan kita akan peroleh $$\begin{aligned} x+y^2 & = p+q^2 \\ x^2+2xy+y^2 & = p^2+2pq+q^2 \\ x^2+y^2+2xy-p^2-q^2-2pq & = 0 && \cdots 3 \end{aligned}$$Sekarang, persamaan $3$ dikurangi persamaan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x^2+y^2+2xy-p^2-q^2-2pq & = 0 \\ x^2+y^2+xy-p^2-q^2-pq & = 0 \end{aligned} \\ \rule{7 cm}{ – \\ \! \begin{aligned} xy-pq & = 0 \\ xy & = pq \end{aligned} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita dapat tuliskan $$\begin{cases} x+y & = p+q && \cdots 1 \\ xy & = pq && \cdots 2 \end{cases}$$Dengan demikian, didapat dua penyelesaian, yaitu $x, y = p, q$ atau $x, y = q, p$. Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah $$\boxed{\{p, q, q, p\}}$$ [collapse] Soal Nomor 7 Tentukan himpunan penyelesaian SPLK berikut. a. $\begin{cases} y = x + 1 \\ x^2+y^2-25 = 0 \end{cases}$ b. $\begin{cases} 2x-y-3 = 0 \\ x^2-y^2 = 0 \end{cases}$ c. $\begin{cases} 3x-y-16 = 0 \\ x^2+y^2-6x+4y-12 = 0 \end{cases}$ Pembahasan Jawaban a Diketahui SPLK $$\begin{cases} y = x + 1 & \cdots 1 \\ x^2+y^2-25 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ disubstitusikan pada persamaan $2$. $$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-25 & = 0 \\ x^2+x+1^2-25 & = 0 \\ x^2+x^2+2x+1-25 & = 0 \\ 2x^2 +2x-24 & = 0 \\ x^2+x-12 & = 0 \\ x+4x-3 & = 0 \\ x = -4~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jika $x = -4$, maka diperoleh $y = -3$. Jika $x = 3$, maka diperoleh $y = 4$. Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{-4, -3, 3, 4\}}$ Jawaban b Diketahui SPLK $$\begin{cases} 2x-y-3 = 0 & \cdots 1 \\ x^2-y^2 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ dapat ditulis menjadi $y = 2x-3$. Substitusikan pada persamaan $2$. $$\begin{aligned} x^2-\color{red}{y}^2 & = 0 \\ x+\color{red}{y}x-\color{red}{y} & = 0 \\ x+2x-3x-2x-3 & = 0 \\ 3x-3-x+3 & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jika $x = 1$, maka diperoleh $y = -1$. Jika $x = 3$, maka diperoleh $y = 3$. Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{1, -1, 3, 3\}}$ Jawaban c Diketahui SPLK $$\begin{cases} 3x-y-16 = 0 & \cdots 1 \\ x^2+y^2-6x+4y-12 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ dapat ditulis menjadi $y = 3x-16$. Substitusikan pada persamaan $2$. $$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-6x+4\color{red}{y}-12 & = 0 \\ x^2 + 3x-16^2-6x + 43x-16-12 & = 0 \\ x^2 + 9x^2-96x+256-6x + 12x-64-12 & = 0 \\ 10x^2-90x+180 & = 0 \\ x^2-9x+18 & = 0 && \text{bagi}~10 \\ x-3x-6 & = 0 \end{aligned}$$Jika $x = 3$, maka diperoleh $y = -7$. Jika $x = 6$, maka diperoleh $y = 2$. Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{3, -7, 6, 2\}}$ [collapse]

soal dan pembahasan sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel